METODE ELIMINASI GAUSS¶
Eliminasi Gauss ialah sebuah cara mengoperasikan nilai-nilai yang berada di dalam matriks sehingga dapat menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya ialah melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Algoritma gauss jordan:
Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward substitution):
ELIMINASI GAUSS JORDAN¶¶
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:
Listing program:
import numpy as np #Definisi Matrix A = [] B = [] n = int(input("Masukkan ukuran Matrix: ")) for i in range(n): baris=[] for i in range(n): a=int(input("Masukkan Nilai: ")) baris.append(a) A.append(baris) for i in range(n): h = int(input("Masukkan Hasil: ")) B.append(h) Matrix=np.array(A,float) Hasil=np.array(B,float) n=len(Matrix) #Eliminasi Gauss for k in range(0,n-1): for i in range(k+1,n): if Matrix[i,k]!=0 : lam=Matrix[i,k]/Matrix[k,k] Matrix[i,k:n]=Matrix[i,k:n]-(Matrix[k,k:n]*lam) Hasil[i]=Hasil[i]-(Hasil[k]*lam) print("Matrix A : ",'\n',Matrix) #Subtitution x=np.zeros(n,float) for m in range(n-1,-1,-1): x[m]=(Hasil[m]-np.dot(Matrix[m, m+1:n], x[m+1:n]))/Matrix[m,m] print('Nilai X ',m+1, '=',x[m])
output:
Masukkan ukuran Matrix: 3 Masukkan Nilai: 2 Masukkan Nilai: -2 Masukkan Nilai: 5 Masukkan Nilai: 1 Masukkan Nilai: 5 Masukkan Nilai: 2 Masukkan Nilai: 4 Masukkan Nilai: 5 Masukkan Nilai: 2 Masukkan Hasil: 12 Masukkan Hasil: 3 Masukkan Hasil: -4 Matrix A : [[ 2. -2. 5. ] [ 0. 6. -0.5 ] [ 0. 0. -7.25]] Nilai X 3 = 3.2413793103448274 Nilai X 2 = -0.2298850574712644 Nilai X 1 = -2.333333333333332
# Eliminasi Gauss Jacobi **Metode IterasiJacobi** merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan Persamaan Linier dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan Linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.  Listing program:
from pprint import pprint from numpy import array, zeros, diag, diagflat, dot import numpy as np def jacobi(A,b,N=25,x=None): #Membuat iniial guess if x is None: x = zeros(len(A[0])) #Membuat vektor dari elemen matrix A D = diag(A) R = A - diagflat(D) #Iterasi for i in range(N): x = (b - dot(R,x)) / D return x Mat1 = [] Mat2 = [] n = int(input("Masukkan ukuran Matrix: ")) for i in range(n): baris=[] for i in range(n): a=int(input("Masukkan Nilai: ")) baris.append(a) Mat1.append(baris) for i in range(n): h = int(input("Masukkan Hasil: ")) Mat2.append(h) A = array(Mat1,float) b = array(Mat2,float) x=len(Mat1) guess = np.zeros(x,float) sol = jacobi(A,b,N=25,x=guess) print("A:") pprint(A) print("b:") pprint(b) print("x:") pprint(sol)
Masukkan ukuran Matrix: 3 Masukkan Nilai: 3 Masukkan Nilai: 1 Masukkan Nilai: -1 Masukkan Nilai: 4 Masukkan Nilai: 7 Masukkan Nilai: -3 Masukkan Nilai: 2 Masukkan Nilai: -2 Masukkan Nilai: 5 Masukkan Hasil: 5 Masukkan Hasil: 20 Masukkan Hasil: 10 A: array([[ 3., 1., -1.], [ 4., 7., -3.], [ 2., -2., 5.]]) b: array([ 5., 20., 10.]) x: array([1.50602413, 3.13253016, 2.6506024 ])
def seidel(a, x ,b): #Mencari Panjang Matrix n = len(a) for j in range(0, n): d = b[j] #Menghitung xi, yi, zi for i in range(0, n): if(j != i): d-=a[j][i] * x[i] x[j] = d / a[j][j] #Solusi return x m=int(input("Masukkan Panjang Matrix: ")) a=[] b=[] for k in range(m): mat1=[] for i in range(m): l=float(input("Masukkan a"+str(k+1)+","+str(i+1)+": ")) mat1.append(l) h=float(input("Masukkan Hasil: ")) b.append(h) a.append(mat1) n = 3 x = [0, 0, 0] print(x) for i in range(0, 100): x = seidel(a, x, b) print(x)
Masukkan Panjang Matrix: 3 Masukkan a1,1: 4 Masukkan a1,2: -1 Masukkan a1,3: 1 Masukkan Hasil: 7 Masukkan a2,1: 4 Masukkan a2,2: -8 Masukkan a2,3: 1 Masukkan Hasil: -21 Masukkan a3,1: -2 Masukkan a3,2: 1 Masukkan a3,3: 5 Masukkan Hasil: 15 [0, 0, 0] [1.75, 3.5, 3.0] [1.875, 3.9375, 2.9625] [1.99375, 3.9921875, 2.9990625] [1.99828125, 3.9990234375, 2.9995078125] [1.99987890625, 3.9998779296875, 2.9999759765625003] [1.99997548828125, 3.9999847412109375, 2.999993247070312] [1.9999978735351562, 3.9999980926513667, 2.999999530883789] [1.9999996404418945, 3.9999997615814205, 2.9999999038604734] [1.9999999644302369, 3.9999999701976776, 2.9999999917325595] [1.9999999946162794, 3.9999999962747097, 2.99999999859157] [1.9999999994207849, 3.9999999995343387, 2.9999999998614464] [1.9999999999182232, 3.999999999941793, 2.999999999978931] [1.9999999999907154, 3.999999999992724, 2.9999999999977414] [1.9999999999987457, 3.9999999999990905, 2.9999999999996803] [1.9999999999998526, 3.9999999999998863, 2.9999999999999636] [1.9999999999999807, 3.999999999999986, 2.999999999999995] [1.9999999999999978, 3.9999999999999987, 2.9999999999999996] [1.9999999999999996, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0] [2.0, 4.0, 3.0]