

Richardson Extrapolation

Dalam analisis numerik, ekstrapolasi Richardson adalah metode percepatan urutan, yang digunakan untuk meningkatkan laju konvergensi suatu urutan.

Ekstrapolasi Richardson diterapkan pada barisan pendekatan nilai opsi untuk mempercepat laju konvergensinya. Aplikasi praktis ekstrapolasi Richardson termasuk integrasi Romberg, yang menerapkan ekstrapolasi Richardson pada aturan trapesium.

Teori

Dalam rumus :

( f (x + h) - f (x - h) ) / (2 h)

untuk nilai h yang sangat kecil, dua fungsi evaluasi f (x + h) dan f (x - h) akan menjadi hampir sama, dan pembatalan subtraktif akan terjadi. Oleh karena itu, tidak disarankan untuk menggunakan nilai h yang semakin kecil.

dapat dicoba untuk memperkirakan nilai tepat e dengan perkiraan a(h), dalam hal ini e adalah turunan dari f (1) (x) dengan perkiraan ( h ) = (f (x + h) - f (x - h)) / (2 h). Dimisalkan sekarang bahwa kesalahan aproksimasi didefinisikan oleh serangkaian bentuk Taylor :

e = a(h) + K hⁿ + o(hⁿ)

Jika menggunakan h / 2 :

e = a(h/2) + K (h/2)n + o((h/2)n)
= a(h/2) + K/2n hⁿ + o(hⁿ)

Mengalikan kedua ekspresi dengan 2n dan mengurangi hasil persamaan yang pertama:

2n^e − e = 2na(h/2) − a(h) + K/2n hⁿ − K hⁿ + o(hⁿ)

Memperhatikan bahwa istilah hⁿ dibatalkan dan dibiarkan dengan:

(2n − 1)e = 2na(h/2) − a(h) + o(hⁿ)

Jika seri Taylor lengkap, rumus perbedaan terpusat yang terpusat, kita perhatikan bahwa istilah kesalahannya dalam bentuk Knhⁿ dapat kita tulis dengan:

K1 = −1/6 f(3)(x)h², etc.

Contoh Program

from math import *
def zeros(n,m):
    Z=[]
    for i in range(n):
        Z.append([0]*m)
    return Z

def D(Func,a,h):
        return (Func(a+h)-Func(a-h))/(2*h)

def Richardson_dif(func,a): 
    '''Richardson extrapolation method for numerical calculation of first derivative '''
    k=9 
    L=zeros(k,k)
    for I in range(k):
        L[I][0]=D(func,a,1/(2**(I+1)))
    for j in range(1,k):
        for i in range(k-j):
            L[i][j]=((4**(j))*L[i+1][j-1]-L[i][j-1])/(4**(j)-1)
    return L[0][k-1]

print('Diferensiasi numerik dari: f = -0.1*x**4-0.15*x**3-0.5*x**2-0.25*x+1.2 dengan x = 0.5')
print("=======================================================================")
print('%04.20f'%Richardson_dif(lambda x: -0.1*x**4-0.15*x**3-0.5*x**2-0.25*x+1.2 ,0.5))
print("=======================================================================")
print('diff(2**cos(pi+sin(x)) dengan x = pi/2 adalah = %04.20f'%Richardson_dif(lambda x: 2**cos(pi+sin(x)),pi/3))

Hasil Running

Diferensiasi numerik dari: f = -0.1*x**4-0.15*x**3-0.5*x**2-0.25*x+1.2 dengan x = 0.5
=======================================================================
-0.91250000000000530687
=======================================================================
diff(2**cos(pi+sin(x)) dengan x = pi/2 adalah = 0.16849558398154249050
>>>